Обычная прямая
P1(0, 1), P2(2, 5). Получаем A = −4, B = 2, C = −2. После деления на −2: 2x − y + 1 = 0, или y = 2x + 1.
Проверка P1: 2·0 − 1 + 1 = 0. Проверка P2: 2·2 − 5 + 1 = 0. Обе точки лежат на прямой.
Формула прямой
Найдите прямую через две точки: точное общее уравнение Ax + By + C = 0, альтернативную запись, проверку подстановкой и график.
Сообщить об ошибке
Если вы отправляете заявку со страницы, на которой были проведены расчёты, мы автоматически получим историю расчётов, просто напишите, что по вашему мнению не так в итоговом результате, мы обязательно проверим и при необходимости исправим.
Как найти уравнение прямой по двум точкам
Две различные точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) определяют одну прямую. Её общее уравнение — Ax + By + C = 0, где A = y1 − y2, B = x2 − x1, C = x1·y2 − x2·y1. Подставьте координаты каждой точки: в обоих случаях должно получиться 0.
Для дробных координат сначала устраняются знаменатели. Затем A, B и C делятся на общий НОД, а знак выбирается так, чтобы первый ненулевой коэффициент был положительным. Если B ≠ 0, альтернативная запись — y = −(A/B)x − C/B; если B = 0, используется x = −C/A.
Три разобранных примера
Вертикальная прямая
P1(2, −1), P2(2, 4). A = −5, B = 0, C = 10. После сокращения: x − 2 = 0, или x = 2.
В обеих точках 2 − 2 = 0. Значение y произвольно, поэтому запись y = kx + b и конечный угловой коэффициент здесь не подходят.
Совпадающие точки
P1(1, 2), P2(1, 2). Формулы дают A = B = C = 0, то есть 0 = 0. Это тождество, а не единственная прямая.
Например, через (1, 2) проходят и x = 1, и y = 2. Поэтому калькулятор просит две различные точки и не строит неоднозначный график.
Почему уравнение и рисунок могут выглядеть по-разному
Уравнения 2x − y + 1 = 0 и −4x + 2y − 2 = 0 задают одну прямую: все коэффициенты отличаются общим ненулевым множителем. Калькулятор показывает сокращённые целые коэффициенты и точные подстановки. Рисунок строится с приближёнными координатами; он помогает увидеть направление, но не заменяет алгебраическую проверку.
Какие числа можно вводить
Поддерживаются целые числа, десятичные до 6 знаков и обыкновенные дроби p/q с ненулевым знаменателем по модулю до 1 000 000. Для точного расчёта общий знаменатель четырёх координат должен быть не более 1 000 000, а каждый целый числитель после приведения к нему — по модулю не более 1 000 000 000. При превышении границ уменьшите масштаб или число знаков: приблизительный ответ не подменяет точный.
Прямая рассматривается на двумерной декартовой плоскости. Поле округления общей формы не изменяет точные коэффициенты. Для расстояний или другого набора исходных данных выберите подходящий инструмент ниже.
Какой инструмент выбрать по исходным данным
Даны две точки
Найти формулу прямой через две точки: общее уравнение, вертикальный случай, проверка и график.
Даны точка и нормаль
Построить прямую через точку с заданной нормалью в существующем калькуляторе параллельной прямой. Введите нормаль как A и B, а C исходной прямой — 0; итог через указанную точку от этого C не зависит.
Нужно расстояние
Расстояние от точки до прямой по координатам точки и коэффициентам A, B, C готового общего уравнения.
Уравнение прямой через две точки
Для различных точек P1(x1,y1) и P2(x2,y2): A = y1 − y2, B = x2 − x1, C = x1·y2 − x2·y1. После устранения знаменателей коэффициенты сокращаются на общий НОД; первый ненулевой коэффициент делается положительным.
Как пользоваться калькулятором
Введите исходные данные в поля формы и нажмите «Вычислить». Результаты появятся без перезагрузки страницы, при необходимости их можно скопировать вместе со ссылкой на расчет. Если включить параметр «Формулы», рядом с итогами будут показаны расчетные выражения.